정규분포의 활용

1. 정규 분포란

“표준의” “자연스러운” “정상의” 등 Normal의 사전적 의미가 뜻하듯, 정규분포는 가장 정상적인 데이터의 분포 형태이다.
데이터가 정규분포를 벗어나고 있다면, 이러한 공정은 개선의 대상이라고 판단해도 좋다.

정규분포는 계량형 확률분포의 한 예에 해당한다.
정규분포는 두 개의 모수로 표현되는데 평균과 분산(또는 표준편차)이다.
X가 평균 μ 와 분산 σ2 을 갖는 정규확률변수라면, 확률밀도함수는 다음과 같다.

$$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^{2}} \quad , \qquad -\infty <x < \infty $$$ (σ 표준 편차, μ 평균, e = 2.71828)

정규 분포의 형태는
1. 좌우대칭 이고,
2. 종 모양의 그래프 이며,
3. 가우스 곡선이라고도 한다.

정규분포의 특징
1. 평균과 표준편차에 의해 모양 결정.
2. 평균을 중심으로 종모양을 함.
3. 그래프가 X축에 수렴한다. ( X축에 닿지 않음)
4. 곡선 내부의 면적은 1.0 이다

2. Z 변환

표준 정규분포(Standard normal distribution)는 평균이 μ=0, 표준편차가 σ=1 인 정규분포를 말하며 어떠한 확률변수도 다음공식에 의하여 표준정규확률변수 (Standard normal randomvariable) 로 변화시킬 수 있다.

확률변수 X 가 평균이 μ , 표준편차가 σ 일 때 $$$ Z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$$는 평균이 0 이고 표준편차가 1 인 정규분포를 따른다.
이러한 확률변수 Z 를 표준 정규확률변수라 하고 그것의 분포를 표준정규분포표라 한다.

표준 정규 분포 (Standard Normal Distribution) 는 정규분포를 표준화 한 분포로서 정규분포와 모든 성질이 같으며 다만, 평균이 “0” 이고, 표준편차가 “1” 인 정규분포이다.
예) 평균(μ) = 30 표준 편차 (σ) = 2.8 인 정규분포를 표준 정규 분포로 변환

3. 추정 불량률

평균(μ) = 30 표준 편차 (σ) = 2.8 , 규격상한(USL) = 37 이상이 되는 확률은?

예)

1) z 가 2.0 이상일 확률은?
$$$ Pr (z ≥ 2.0) = 0.0228 ( 2.28 \%) $$$

2) z 가 1.1 이하일 확률은?

\begin{align} Pr (z ≤ 1.1) &= 1 - Pr (z ≥ 1.1) \\ & =1 - 0.1357 \\ & = 0.8643 ( 86.43 \%) \end{align}

3) z가 0.5 이상이고 2.15이하일확률은?

\begin{align} Pr (0.5 ≤ z ≤ 2.15) &= 0.3085 - 0.0158 \\ &= 0.2927 (29.27 \% ) \end{align}